Tip:
Highlight text to annotate it
X
Dalam video ini saya ingin membiasakan Anda dengan gagasan batas, yang adalah ide super penting.
Ini adalah benar-benar ide bahwa semua kalkulus didasarkan pada.
Tapi meskipun begitu super penting, itu benar-benar ide yang benar-benar benar-benar sederhana.
Jadi biarkan aku menggambar fungsi di sini - sebenarnya, biarkan aku mendefinisikan fungsi
Sini. Jenis fungsi sederhana. Jadi, mari kita menentukan f (x) - mari kita mengatakan bahwa f (x) akan menjadi (x-1)/(x-1).
Dan Anda mungkin berkata, "Hei Sal, lihat, aku punya hal yang sama di pembilang dan penyebut.
Jika aku memiliki sesuatu dibagi dengan sendirinya, itu hanya akan sama untuk satu! Tidak bisa aku hanya menyederhanakan ini ke f (x) = 1? "
Dan aku akan berkata, "Yah, kau hampir benar, perbedaan antara f (x) = 1 dan hal ini hak atas
di sini adalah bahwa hal ini undefined ketika x = 1. Jadi jika Anda menetapkan - biarkan aku menulis itu di sini - jika Anda memiliki
f(1), apa yang terjadi? Di pembilang, Anda mendapatkan (1-1), yang is.... biarkan aku hanya menuliskannya...
di pembilang Anda mendapatkan 0, dan dalam denominator Anda mendapatkan (1-1), yang juga merupakan 0. Dan jadi apa pun dibagi
oleh 0, termasuk 0/0, ini undefined. Sehingga Anda dapat membuat penyederhanaan - Anda dapat mengatakan bahwa ini adalah
hal yang sama seperti f (x) = 1, tetapi Anda akan memiliki untuk menambahkan kendala bahwa x tidak dapat sama dengan 1. Sekarang ini
dan ini setara. Kedua hal ini akan menjadi sama dengan 1, untuk semua x'es lain dari 1. Tapi
di x = 1, menjadi undefined. Ini undefined dan yang satu ini yang terdefinisi. Jadi bagaimana akan grafik fungsi ini?
Jadi biarkan aku grafik itu... Itu adalah sumbu y=f(x) saya, dan kemudian ini di sini adalah sumbu-x saya, dan kemudian Katakanlah
ini adalah titik x = 1, hal ini di sini akan x =-1, ini adalah y = 1, di atas sana aku bisa melakukan-1 tapi itu
tidak berbuat banyak relatif terhadap fungsi ini kanan di sini, dan dan biarkan aku grafik itu. Jadi itu adalah pada dasarnya untuk
x apapun selain 1, f (x) = 1. Sehingga memiliki akan terlihat seperti ini... kecuali pada 1. 1, F (x) is undefined, jadi
Saya akan memakai sedikit kesenjangan yang tepat di sini, lingkaran ini, untuk menandakan bahwa fungsi ini
adalah tidak didefinisikan - kita tidak tahu apa fungsi ini sama 1, kami tidak pernah didefinisikan.
Definisi fungsi ini tidak memberitahu kita apa yang harus dilakukan pada 1 - itu benar-benar undefined ketika x = 1.
Jadi ini adalah fungsi hak atas di sini, dan jadi sekali lagi, jika seseorang meminta Anda Apakah f(1), Anda akan pergi...
dan Mari kita berkata, Yah ini adalah definisi fungsi, Anda akan pergi x = 1. Oh Tunggu, ada kesenjangan dalam saya fungsi
di sini, is undefined. Jadi biarkan aku menulis lagi... Yah, itu agak berlebihan tapi saya akan menulis ulang itu.
f(1) is undefined. Tapi bagaimana jika saya meminta Anda, apa fungsi mendekati
sebagai x = 1? Dan sekarang, ini mulai menyentuh pada gagasan batas. Sehingga x mendapat lebih dekat dan lebih dekat ke 1...
Apa fungsi mendekati? Yah ini sepanjang waktu, apa itu semakin dekat dan dekat ke?
Pada sisi kiri, tidak peduli seberapa dekat Anda bisa 1, as long as you're not 1, f (x) = 1.
Di sini dari sisi kanan, Anda mendapatkan hal yang sama. Sehingga Anda bisa mengatakan - dan Anda akan mendapatkan
semakin akrab dengan ide ini seperti yang kita lakukan lebih banyak contoh - yang batas sebagai
x (dan lim, kependekan batas) sebagai x pendekatan 1 f (x) sama dengan...
Ketika kita lebih dekat kita bisa luar biasa, tak terhingga mendekati selama kita tidak 1...
Dan fungsi kita akan menjadi sama dengan 1, itu semakin dekat dan dekat ke 1,
It's sebenarnya 1 sepanjang waktu. Jadi dalam kasus ini, kita dapat mengatakan batas x pendekatan 1 f (x)
adalah 1. Jadi sekali lagi, memiliki notasi sangat mewah, kami hanya mengatakan, "lihat, apa fungsi mendekati
sebagai x mendapat lebih dekat dan lebih dekat ke 1?"
Biarkan aku melakukan contoh lain di mana kita berurusan dengan kurva, hanya sehingga Anda memiliki ide umum.
Jadi mari kita mengatakan bahwa saya memiliki fungsi f - biarkan aku, just for the sake of berbagai, biarkan aku menyebutnya g(x).
Mari kita mengatakan bahwa kita memiliki g(x) sama - saya dapat mendefinisikannya ini cara, kita dapat mendefinisikan sebagai x ²
Ketika x tidak sama dengan 2, dan Mari kita mengatakan bahwa bila x = 2, itu sama dengan 1. Jadi sekali lagi, jenis yang menarik
fungsi yang - seperti yang Anda akan lihat - tidak sepenuhnya berkelanjutan. Memiliki diskontinuitas. Biarkan aku grafik itu.
Jadi ini sumbu y=f(x) saya, ini adalah sumbu-x saya tepat di sini. Mari kita mengatakan ini adalah x = 1, ini adalah x = 2,
ini adalah-1, ini awalnya adalah-2... Jadi di mana-mana kecuali x = 2, itu sama dengan x ². Jadi biarkan aku menggambar seperti ini,
ini akan menjadi sebuah parabola, tampak seperti ini... Ini akan terlihat sesuatu...
Biarkan aku menarik versi yang lebih baik parabola. Sehingga terlihat seperti ini, bukan yang paling indah
parabola ditarik dalam sejarah menggambar parabola, tapi saya pikir itu akan memberi Anda gagasan apa sebuah parabola
Sepertinya, mudah-mudahan. Itu harus dengan simetris... Biar redraw itu, karena itu agak jelek.
Yang tampak lebih baik, oke, baik-baik saja, there you go. Baik-baik saja.
Sekarang, ini harus grafik hanya x ², tetapi tidak x ² ketika x = 2. Jadi sekali lagi, ketika x = 2,
kita harus memiliki sedikit diskontinuitas di sini, jadi aku akan menarik kesenjangan langsung di sana,
karena ketika x = 2, fungsi sama dengan 1.
Aku tidak melakukan mereka pada skala yang sama... Pada grafik dari f (x) = x ² ini akan menjadi 4, ini akan menjadi 2,
ini akan menjadi 1, ini akan menjadi 3. Jadi, x = 2, fungsi kita sama dengan 1.
Jadi ini adalah sedikit dari sebuah fungsi yang aneh, tapi Anda dapat menentukan cara ini, Anda dapat menentukan fungsi namun
Anda ingin mendefinisikan itu! Dan begitu, perhatikan, itu hanya seperti grafik dari f (x) = x ² kecuali ketika Anda mendapatkan 2,
memiliki celah ini, karena Anda tidak menggunakan "g (x) = x ² ketika x = 2", Anda menggunakan "g (x) = 1".
Jika aku sudah mengatakan f (x), saya minta maaf untuk itu.
Anda menggunakan g (x) = 1, jadi kemudian persis di 2, itu turun ke 1, dan kemudian itu terus terjadi sepanjang x ².
Jadi ada beberapa hal. Jika saya hanya mengevaluasi fungsi - g(2),
Nah, Anda melihat definisi ini. Oke, ketika x = 2, saya menggunakan situasi ini kanan di sini,
dan bilang itu akan menjadi sama dengan 1. Izinkan saya bertanya pertanyaan yang lebih menarik, atau mungkin lebih
pertanyaan yang menarik. Apakah batas x pendekatan 2 g(x)? Sekali lagi, mewah notasi, tetapi
itu meminta sesuatu yang cukup cukup sederhana. Mengatakan "sebagai x mendapat lebih dekat dan lebih dekat dengan 2...
Ketika Anda mendapatkan dekat dan dekat - dan ini bukan definisi ketat, kami akan melakukan itu di masa depan video-
sebagai x semakin dekat dan dekat ke 2, apa g(x) mendekati? Jadi, jika Anda bisa 1.9, dan kemudian 1.999, dan kemudian 1.999999
dan kemudian 1.9999999, apakah g(x) mendekati? Jika Anda pergi dari arah yang positif,
Jika Anda mengatakan 2.1, apakah g(2.1)? Apakah g(2.01)? Apakah g(2.001)?
Apakah itu mendekati seperti yang kita dapatkan lebih dekat dan lebih dekat untuk itu?
Dan Anda dapat melihat secara visual hanya dengan menggambar grafik. Sebagai g semakin dekat dan dekat 2...
Dan jika kita ikuti sepanjang grafik, kita melihat bahwa kita sedang mendekati 4,
Meskipun itu adalah tidak di mana fungsi - fungsi turun untuk 1 - batas g(x) sebagai
x pendekatan 2 sama dengan 4. Anda bahkan dapat melakukan ini secara numerik menggunakan kalkulator.
Dan biarkan aku melakukan itu, karena saya pikir itu akan menjadi menarik. Jadi biarkan aku keluar Kalkulator...
Biarkan aku mendapatkan terpercaya TI-85 keluar... Jadi di sini adalah kalkulator saya... Dan Anda dapat numerik berkata,
Oke, apakah itu akan pendekatan saat Anda mendekati x = 2? Jadi mari kita coba 1.9. Untuk x = 1.9, Anda akan menggunakan ini
atas klausul, tepat di sini. Sehingga Anda akan memiliki 1.9², maka Anda akan mendapatkan 3,61.
Nah, bagaimana jika Anda mendapatkan lebih dekat dengan 2? Jadi 1.99, dan sekali lagi biarkan saya persegi itu,
Yah aku di 3.96. Bagaimana jika saya melakukan 1.999 dan aku persegi itu?
Aku akan mendapatkan 3.996. Perhatikan, saya mendapatkan lebih dekat dan lebih dekat dan lebih dekat ke titik kita.
Jika aku benar-benar dekat - 1.999999999999²? Apa am I gonna get untuk? Itu tidak benar-benar akan menjadi
persis 4 - kalkulator ini hanya dibulatkan hal - karena kita sedang akan mendapatkan beberapa benar-benar benar-benar
benar-benar benar-benar dekat dengan 4. Dan kita dapat melakukan sesuatu dari arah yang positif, juga, dan itu benar-benar
harus nomor yang sama ketika kita mendekati dari di bawah ini, apa yang kita mencoba untuk mendekati,
dan di atas apa yang kita mencoba untuk mendekati. Jadi jika kita mencoba 2.1², kita mendapatkan 4.4...
Biarkan aku pergi beberapa langkah ke depan...
2.0001². Jadi ini lebih dekat ke 2 sekarang. Sekarang kita sudah jauh lebih dekat ke 4.
Jadi semakin dekat kita sampai 2, dekat sepertinya kita akan mendapatkan ke 4.
Jadi sekali lagi itu adalah cara numerik untuk melihat bahwa batas sebagai x pendekatan 2 dari kedua arah
g(x) - meskipun tepat di 2, fungsi sama dengan 1, karena itu tersekat-sekat-
batas seperti kita sedang mendekati 2, kita mendapatkan lebih dekat dan lebih dekat dan lebih dekat ke 4.